معادله بالا برای تمام مقادیر کوچکدرست است و ضرائب توان باید در دو طرف این معادله یکسان باشد. با محاسبه ضرایب توان در دو طرف خواهیم داشت:

(3-18)
توجه شود که معادله (7) شبیه معادله (2) است و حل عمومی به شکل زیر دارد:
(3-19)
با جایگذاری در (8) داریم:
(3-20)
با بکارگیری روابط مثلثاتی زیر:
(3-21)
و معادله به شکل زیر بازنویسی می شود:
(3-22)
حل عمومی :
(3-23)

Coordinate perturbation3-1-2

اگر مساله فیزیکی بیان ریاضی به شکل معادله و شرایط مرزی داشته باشد زمانی که اسکالر است و اگر به فرم شناخته شود چنانچه(منظور 0 یا است)
ابتدا سعی به تعیین و استخراج uاز برای نزدیک در ترم های توان ویا اگر، می شود.
معادله بسل مرتبه صفر:
حل زیر را بررسی می کنیم:
(3-24)
این معادله یک نقطه تکین متداول در دارد بنابراین یک سری حل برای y به شکل زیر تعریف می شود:
(3-25)
? و ضریب باید تعیین شوند. بنابراین معادله(25) یک حل معادله(24) است.
با قرار دادن معادله (25) در (24) خواهیم داشت:
(3-26)
که بدین شکل هم نوشته می شود:
(3-27)
با جایگذاری m به وسیله m+2 در شبیه سازی اولیه این معادله می توانیم به شکل زیر بازنویسی کنیم:
(3-28)
زمانی که (4) یک مشخصه است. ضریب هر توان باید به شکل مستقل حذف شود؛که:
(3-29)
اولین معادله بیان می کند که اگر،سپس (28)می دهدو(29) می دهد:

بنابراین
(3-30)
زمانی که نسبت ترم n ام به (n-1) ام ، می شود؛و زمانی که به سمت صفر میل می کند.

مثال دوم که یک مثال ساده است:
(3-31)
برای های بزرگ ما جوابی به فرم زیر داریم:
(3-32)
با قرار دادن این بسط در معادله (24) داریم:
(3-33)
با جایگزینی mبا m-1 در سری دوم جمع ،ما می توانیم این معادله را به شکل زیر بازنویسی کنیم:
(3-34)
زمانی که این معادله برحسب است ضریب هر باید به شکل مستقل حذف شود بنابراین:
(3-35)
و (2) به شکل زیر می شود:
(3-36)
زمانی که نسبت ترم nام به ترم (n-1)ام،می شودو زمانی که به سمت بی نهایت میل می کند و سری 6 برای هر مقدار دایورج می کند.

3-1-3 روش HPM 1 :
این روش اولین بار توسط یک ریاضیدان چینی مطرح شد و بعد از آن به عنوان یک روش کاربردی در حل معادلات غیر خطی در بسیاری از مباحث مورد استفاده قرار گرفته است. ایده اصلی این روش معرفی یک پارامتر است که اصطلاحا P نامیده می شود. این پارامتر از 0تا 1 متغیر است؛ در P=0 سیستم معادلات معمولا به یک شکل ساده تر کاهش پیدا می کند و چنانچه P به سمت 1 میل کند، سیستم شامل یکسری تغییرات می شود و حل در هر مرحله نزدیک به مرحله قبل تغییر است.
در P=1 سیستم فرم اصلی معادله را میگیرد و مرحله آخر تغییرات حل دقیق را می دهد. برای درک بیشتر این روش، روال کلی آن را بررسی می کنیم و در ادامه به حل یک مثال ساده با استفاده از این روش می پردازیم.
معادلات مختلف غیر خطی را به شکل زیر می نویسیم

(3-37)
با شرایط مرزی:
(3-38)
L عملگر خطی و N غیر خطی است و B عملگر شرایط مرزی می باشد.

با بکار گیری تکنیک HPM ،یک هوموتوپی می سازیم:

(3-39)
یا
(3-40)

(3-41)

حل تقریبی معادله به شکل زیر می باشد:
(3-42)
بکارگیری HPM، هوموتوپی زیر را برای معادله اصلی نتیجه می دهد.
(3-43)
یا
(3-44)
پارامتر P همیشه از 0 تا 1 تغییر می کند و در P=0 معادله 10 به شکل زیر خطی می شود :
(3-45)

و معادله 45 به شکل زیر:
(3-46)
فرض اولیه حل معادله 45 یا 46:

(3-47)
با جاگذاری معادله 47 در 43 و 44 و معادلگیری ترم ها با P ما یکسری معادلات خطی به فرم زیر داریم:

(3-48)
یا
(3-49)
معادلات خطی در 48 49 برای حل ساده سازی شده اند. برای تعیین سری حل در نهایت خواهیم داشت:

(3-50)
در ادامه دو مثال ساده که با استفاده از این روش ساده سازی و حل شده اند را مورد بررسی قرار می دهیم:

مثال اول:
(3-51)

حل:
با اعمال روش HPM خواهیم داشت:

(3-52)

(3-53)
حل معادلات:

(3-54)

با حل ترم پنجم تخمین:

(3-55)

و در نهایت:

(3-56)

شکل 3-1) تغییرات جابجایی نسبت به زمان

شکل 3-2) تغییرات dy/dt نسبت به زمان

مثال 2:

(3-57)

حل:

(3-58)

(3-59)
حل معادلات:
(3-60)
با حل ترم پنجم تخمین:

(3-61)

و در نهایت:
(3-62)

شکل3-3) تغییرات جابجایی نسبت به زمان

3-فصل سوم

ارائه روشهای حل معادلات آیروالاستیک غیر خطی

در فصل 2 معادلات آیروالاستیک غیر خطی برای ایرفویل دو درجه آزادی با فنر غیر خطی ارائه شد.همانگونه که مشاهده شد معادلات ، معادلات غیر خطی دیفرانسیلی- انتگرالی می باشد که به دلیل وجود ترمهای انتگرالی حل معادلات مشکل می باشد،لذا باید بااعمال روشهایی بر روی معادلات حاصله این معادلات را به شکل معادلات ساده تر تبدیل کنیم. در این فصل به ارائه دو روش برای حل این معادلات می پردازیم و در نهایت این دو روش را با سایر روشهای ارائه شده مقایسه می کنیم.
4-1- روش HPM:
مادراین روش در صدد حذف ترمهای انتگرالی() از معادلات (2-26) و(2-27) می باشیم، زیرا با حذف ترمهای انتگرالی ،معادلات ما به یک سری معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود که برای حل بسیار ساده تر از معادلات دیفرانسیلی- انتگرالی می باشد.بنابراین برای رسیدن به این منظور معادلات مذکور را در ضرب می کنیم بنابر این خواهیم داشت :

این مطلب رو هم توصیه می کنم بخونین:   تحقیق با موضوعشخص ثالث، بازپرداخت

(4-1)

(4-2)

حال با مشتق گیری معادله فوق نسبت به زمان ، ترمهای و حذف خواهد شد لذا خواهیم داشت :

(4-3)

1 -Homotopy perturbation method

(4-4)

ومجدداً با ضرب عبارت حاصل در به معادلات زیر می رسیم :

(4-5)

(4-6)

حال با مشتق گیری مجدد معادلات حاصله نسبت به زمان ترمهای نیز حذف می شود و معادله نهایی جهت حل به شکل زیر که یک معادله دیفرانسیل معمولی غیر خطی از مرتبه چهار می باشد در می آید :

(4-7)

(4-8)

که با توجه به این که ما دو معادله مرتبه چهار داریم لذا به هشت شرط اولیه احتیاج داریم ، که چهار شرط مرزی رااز ابتدا داریم و به شرح زیر است:

(4-9)

اکنون به چهار شرط اولیه دیگر نیاز داریم که با استفاده از شروط اولیه بالا ومعادلات (1-4) تا (4-4) ،آنها را محاسبه می کنیم که به صورت زیر می باشد:

(4-10)

(4-11)

(4-12)

(4-13)

که ما برای حل معادلات فوق از روش عددی رانگ – کوتای مرتبه چهار استفاده میکنیم ، بنابراین لازم است دو معادله (4-12) و (4-13) که از مرتبه چهار است ،هر یک را به چهار معادله مرتبه اول تبدیل کنیم ،لذا خواهیم داشت :

(4-15)

(4-16)

همانطور که مشاهده می کنید دستگاه معادلات، یک دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول می باشدکه برای حل عددی با روشهای مختلف حل معادلات دیفرانسیل آماده می باشد. این دستگاه را بصورت خلاصه می توان به شکل زیر نوشت:

(4-17)

که در اینجا :

(4-18)

معادلات آیروالاستیک ارائه شده ، بصورت دستگاهی از معادلات دیفرانسیل مر تبه اول فرمول بندی شده است(معادلات 4-14 و4-15 ) . برای حل این دستگاه معادلات دیفرانسیل می توان از روش های انتگرالگیری عددی که برای حل این مسئله مقدار اولیه در دسترس قرار دارد ،بهره گرفت . حرکت ایرفویل به شکل زیر ارائه شده است :

(4-19)

با جایگزین کردن افزایش محدود به جای دیفرانسیل dX و dt در معادله فوق داریم :
که با استفاده از معادلات 4-9 تا 4-13،شرایط اولیه ما بدست می آید.در نتیجه شرایط اولیه ما به صورت زیر می باشد :

(4-20)

(4-21)

یک بردار هشت مولفه ای در مراحل زمانی n ,n+1 می باشد و می توان نوشت:

(4-22)

که در این روش را در مقادیر مشخصی از که بستگی به روش عددی انتخابی دارد ، مشخص می کنیم. روش رونگ- کوتا مرتبه 4 بطور معمول مورد استفاده قرار می گیرد و نشان داده شده است که برای حل مسائل مهندسی ، بطور کافی دقیق است.برای بکار گیری روش رونگ-کوتا ،طرف راست دستگاه معادلات را باید چهار بار برای هر فاصله زمانی ارزیابی کرد. یک بار در نقطه اولیه ،دوبار در نقاط میانی و یک بار در نقطه آزمایشی انتهایی، با ضرب این مشتقات در ،ما چهار افزایش برای هر مرحله زمانی بدست می آید .این روش را می توان با معادلات زیر ارائه کرد :

(4-23)

تابع قرار گرفته بر حسب متغیرهای معرفی شده ، واقع در سمت راست معادلات دستگاه معادلات است. برای هر کدام از هشت معادله یکی از این توابع وجود د ارد. تا افزایش های بردار هشت مؤ لفه ای و ،n امین مرحله زمانی است .همچنین به ترتیب مقادیر اولیه تغییرمکان پیچشی ،سرعت پیچشی ، تغییر مکان جانبی و سرعت جانبی می باشند. با دانستن مقادیر اولیه سیستم ، شروع کردن عملیات روش رونگ -کوتا به سادگی صورت می گیرد .فرمول بندی انتگرالگیری مرحله اول به سادگی با جایگزین کردن یا و به جای و انجام می شود. روش رونگ -کوتا یک روش عددی صریح و بدیهی است و تنها پارامتر ورودی آن فاصله زمانی می باشد. لازم به ذکر است که دقت این روش از مرتبه می باشد.

4-2- روش دوم :
همانطور که در فصل دو آمد مطابق معادلات( 2-21) و(2-22) معادلات آیروالاستیک ما به صورت زیر می باشد:

(4-24)

(4-25)

که با استفاده از ضرایب ثابت تعریف شده در جدول 3-1، معادلات فوق به شکل ساده زیر تبدیل می شود :

(4-26)

ما در این روش نیز در صدد حذف ترمهای انتگرالی از معادلات دیفرانسیل-انتگرالی فوق و رسیدن به دو معادله دیفرانسیلی می باشیم. لذا در این روش ترمهای انتگرالی را به عنوان درجات آزادی در نظر می گیریم. برای این منظور نیاز به تعریف متغیرهای جدیدبه نحوی که خواسته ما را بر آورده کند،داریم.با تعریف متغیرهای :

(4-27)

و با مشتق گیری از عبارات فوق خواهیم داشت:

(4-28)

بنابراین با عملیات اخیر ما به چهار معادله جدید به شکل زیر می رسیم:

(4-29)

لذا معادلات نهایی ما به شکل زیر در می آیند:

(4-30)

(4-31)

حال با تعریف متغیرهای تا به صورت :

(4-32)

دستگاه معادلات (4-29) را به دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول یعنی تبدیل می کنیم. حال با استفاده ازمعادلات (4-30) و دستگاه معادلات (4-29) و دانستن این نکته که :

(4-33)

(4-34)

خواهیم داشت :

حال با تلفیق معادلات (4-33) و(4-32) و(4-31) ،به هشت معادله مرتبه اول به شکل زیر می رسیم:

(4-35)

همانگونه که مشاهده می کنید دستگاه معادلات (4-34) ،یک دستگاه معادلات دیفرانسیل

دسته‌ها: No category

دیدگاهتان را بنویسید