استاتیکی است اما دو شاخه ای شدن هوف بیانگر تغییر حالت از وضعیت تعادل به حل پریودیک است. که به همین دلیل آنرا دو شاخه ای شدن نوسانی 41 هم می نامند.
در دو شاخه ای شدن هوف در جریان تغییر پارامتر کنترلی یک نقطه تعادل کانون پایدار را تبدیل به کانون ناپایدار می شود و همزمان با آن یک چرخه حدّی پایدار حول نقطه تعادل ( کانون ناپایدار ) در صفحه فاز بوجود می آید که شعاع این چرخه حدّی با افزایش پارامتر کنترلی زیاد می شود.
نتایج اولیه در مورد دو شاخه ای شدن هوف توسط پوا نکاره حاصل شد و آندرونوف42 در سال 1929 آنرا برای سیستم معادلات در صفحه بررسی کرد ،[18] . بدلیل بررسی های اولیه انجام شده توسط این افراد دو شاخه ای شدن هوف را ( Poincaré-Andronov-Hopf Bifurcation ) می نامند که معمولاً مختصر آنرا یعنی Hopf Bifurtion بکار می برند.
بعد از آن در سال 1942 هوف این تئوری را به شکل کاملتری که در زیر آمده است برای فضای n بعدی بیان کرد.
تئوری : دستگاه معادلات مرتبه یک (? ، x )f = x که در آن ? پارامتر کنترلی است را در نظر بگیرید اگر در این دستگاه شرایط زیر برقرار باشد :
1- o = (o ? ، o x )f
2- (o ? ، o x )fx (ماتریس ژاکوبین معادلات در نقطه o x و به ازای پارامتر o ? ) دارای یک جفت مقادیر ویژه موهومی محض ?i ± باشد و هیچکدام از مقادیر ویژه دیگر موهومی محض نباشد.
3- که در آن ( جزء حقیقی مقدار ویژه ) به ازای o ? موهومی محض می باشد .
در اینصورت در نقطهo x به ازای o ? = ? شاهد ایجاد یک چرخه حدّی خواهیم بود که دوره تناوب اولیه این چرخه حدّی در زمانی که دامنه حل نوسانی صفر است از مقدار زیر قابل محاسبه است .

اگر مکان هندسی مقادیر ویژه را بر حسب تغییرات پارامتر کنترلی در جریان دو شاخه ای شدن هوف بر روی نموداری که محور عمودی آن قسمت موهومی مقادیر ویژه و محور افقی آن بخش حقیقی مقادیر ویژه را نشان می دهد نشان دهیم، متوجه می شویم که در هنگام دو شاخه ای شدن هوف دو تا از مقادیر ویژه از محور موهومی می گذرند، توجه شود که شرط گذر از محور موهومی توسط بندهای 2 و 3 از فرضیات تئوری هوف تأمین می شود.
آنچه که در اینجا تحت عنوان دو شاخه ای شدن هوف توضیح داده شد تغییر حالت از نقطه تعادل پایدار به حل پریودیک پایدار بود که تحت عنوان دو شاخه ای شدن هوف بحرانی 43 نامیده می شود اما نوع دیگری از دو شاخه ای شدن هوف وجود دارد که به آن دو شاخه ای شدن هوف ، مادون بحرانی ( غیر بحرانی ) (Hopf Bifurcation Subcritical ) گفته می شود که در آن به ازای مقادیر o? ? در دیاگرام فاز یک نقطه تعادل پایدار و یک چرخه حدی ناپایدار داریم و به ازای o? ? فقط دارای یک نقطه تعادل هستیم.

4-5-2 بررسی مسیرهای پریودیک به روش تحلیلی:
همانطور که در مبحث قبل اشاره شد در جریان دوشاخه ای شدن هوف یک چرخه حدی اطراف نقطه تعادل بوجود می آید که اندازه آن با افزایش پارامتر کنترلی زیاد می شود. در این فصل یک روش تحلیلی برای بررسی اندازه و شکل چرخه حدی بوجود آمده و تعیین پایداری و ناپایداری آن ارائه می شود که شکل نرمال44 نامیده می شود. همچنین از آنجا که بررسی تحلیلی دستگاه معادلات وابسته با درجه بالا مشکل و حتی عملاً غیر ممکن است با استفاده از تئوری منیفولد مرکزی تصویر دیاگرام فاز سیستم را بر روی فضای منیفولد مرکزی45 که مکان هندسی حلهای پریودیک است بدست می آوریم و بدین وسیله تعداد معادلات وابسته به هم کاهش پیدا می کند.
4-5-2-1 منیفولد مرکزی
تئوری منیفولد مرکزی ابزاری است جهت کاهش بعد فضای حالت یک دستگاه معادلات. بطور مثال به کمک منیفولد مرکزی می توان یک دستگاه معادلات دیفرانسیل دوتایی را به یک معادله دیفرانسیل ساده بر روی خط منیفولد تبدیل کرد. و یا اینکه یک سیستم دینامیکی شامل 4 معادله دیفرانسیل وابسته به هم را به دو معادله دیفرانسیل کاهش داد.
منیفولدهای پایداری و ناپایداری در اطراف نقطه زینی نمادی از منیفولدهای پایدار و ناپایدار در حالت کلی هستند. به کمک تئوری منیفولد مرکزی می توان سیستم را ساده کرده و دوشاخه ای شدن سیستم ساده شده را با استفاده از روشهای شکل نرمال یا روشهای میانگین ( Averaging Methods ) بررسی کرد.
سیستم که 0 = (0 ) f را در نظر بگیرید ، اگر ماتریس خطی شده f ( ژاکوبین f ) در مبدأ دارای مقادیر ویژه ای باشد که بخش حقیقی آنها غیر صفر باشد با استفاده از قضیه خطی سازی هارتمن ( Hartman ) می توان شکل کلی جریان در اطراف مبدأ را با استفاده از تعداد مقادیر ویژه منفی و مثبت ماتریس خطی شده تخمین زد. تئوری منیفولد مرکزی وقتی مورد استفاده قرار می گیرد که بعضی از مقادیر ویژه ماتریس خطی شده دارای بخش حقیقی صفر باشند. تئوری منیفولد مرکزی: سیستم ( x ) f = x ، o = (o ) f ، را در نظر بگیرید که f ازمرتبهr مشتق پذیر است. اگر ژاکوبین f در مبدأ را A بنامیم ، (o ) Df = A ، که دارای مقادیر ویژه زیر است.

(4-84)

چنانچه فضاهای ویژه نظیر u ? و c ? و s ? را Euو Ecو Es بنامیم آنگاه منیفولدهای ناوردای ( Invarient )Ws و Wu که از مرتبه r مشتق پذیر هستند وجود دارند بنحوی که این منیفولدها در مبدأ به ترتیب بر Es و Eu مماس می باشند. منیفولدهای Ws و Wu یگانه هستند. همچنین منیفولد مرکزی Wc که غیر یگانه می باشد وجود دارد بطوری که در مبدأ بر Ec مماس می باشد این منیفولد از مرتبه 1- r مشتق پذیر می باشد ،[21].
منیفولدهای فوق در زیر نشان داده شده اند قابل توجه است که جهت منیفولد مرکزی تنها باتوجه به ترمهای غیر خطی در f مشخص می شود.
برای بدست آوردن منیفولد مرکزی دستگاه معادلات دیفرا نسیل زیر را در نظر بگیرید:

(4-85)

که B و C ماتریس های n×n و m×m می باشند که مقادیر ویژه آنها به ترتیب جزء حقیقی صفر و منفی دارد و f وg بنحوی هستند که مشتقات اول آنها در مبدأ صفر می باشند
(o = j|(0,0) x?/fi ? ، (o = j|(0,0) x?/gi ?).
منیفولد مرکزی برای سیستم فوق بصورت زیر معرفی می شود :

این مطلب رو هم توصیه می کنم بخونین:   منابع و ماخذ مقاله افزایش، نیتروژن، گیاه

(4-86)

که تابع h در یک همسایگی u در فضای Rn تعریف شده است . با تصویر کردن میدان برداری f بر روی منیفولد مرکزی داریم:

(4-87)

4-5-2-1-1 بدست آوردن تابع تبدیل (x ) h :
اگر معادله (x ) h = y را در نظر بگیریم با استفاده از قاعده مشتق گیری زنجیره ای داریم:

(4-88)

رابطه 4-84 را می توان به صورت زیر هم نوشت :

(4-89)

که در آن ((x ) h ) N تابع خطا نامیده می شود. اگر چه معادله دیفرا نسیل فوق را نمی توان همیشه بر حسب h حل کرد اما می توان با استفاده از بسط سری تیلور حول نقطه o = x برای تابع ( x ) h و جایگزینی آن در معادله دیفرا نسیل اخیر آنرا بصورت تقریبی حل کرد توجه شود که بسط تیلور در نظر گرفته شده برای ( x ) h بایستی بنحوی باشد که شرائط مرزی را ارضاء کند. همچنین بدلیل اینکه تابع در نظر گرفته شده برای (x ) h تقریبی می باشد بنابراین دیگر (( x ) h ) N دقیقاً صفر نمی شود.قضیه زیر به ما کمک می کند تا بدانیم بسط تیلور ( x ) h تا چه درجه ای بایستی در نظر گرفته شود تا (( x ) h ) N با دقت خوبی به صفر نزدیک شود.
قضیه : اگر تابع ( x ) ? را با شرایط مرزی بتوان یافت بنحوی که تابع انحراف برای 1 p وقتی که از مرتبه شود () آنگاه می توان تابع ( x ) h را به صورت زیر در نظر گرفت (Henry 1981، Carr 1981 ) :

(4-90)

4-5-2-2 شکل نرمال46:
یکی از ابزار قدرتمند در مطالعه پدیده دو شاخه ای شدن روش شکل نرمال است . این روش مانند سایر روشهای تقریبی که در بررسی مسائل دینامیکی مفید می باشند به سرعت در شاخه های متنوع علوم از قبیل مهندسی ، فیزیک و ریاضی کاربرد پیدا کرده است. در بیشتر مسائل نتایج بدست آمده از روش شکل نرمال با دیگر روشهای اختلالات جزئی47 مانند روش میانگین یا روش مقیاسهای چند گانه48 یکسان است . که خود به اعتبار این روش می افزاید.
در روش شکل نرمال سعی می شود که با تبدیل مختصات برای یک همسایگی اطراف نقطه ثابت دستگاه معادلات و یا حول حل پریودیک ، معادلات حرکت سیستم را به فرم ساده تری تبدیل کرده و سپس با استفاده از روشهای مشخص، معادلات ساده شده سیستم را بررسی کرد. بدلیل اینکه این تبدیل مختصات در همسایگی نقطه ثابت و اطراف حل پریودیک سیستم صورت می گیرد و برای کل فضای حالت سیستم صادق نیست، آنرا تبدیل مختصات موضعی یا تبدیل مختصات نزدیک همانی49 می نامند.
با تبدیل مختصات مناسب حل های پریودیک در مختصات اصلی بصورت مدارهای دایره ای شکل در مختصات جدید ظاهر می شود که برای بررسی آنها می توان از مختصات قطبی کمک گرفت . در مختصات قطبی حلهایی که روی آنها ( و همواره یک علامت د اشته باشد. ) بیانگر حل دایره ای شکل است که در مختصات اصلی نمایانگر حل پریودیک هستند .

4-5-2-2-1 بدست آوردن شکل نرمال برای یک دستگاه معادلات
دستگاه معادلات دیفرا نسیل مرتبه اول زیر را در نظر بگیرید :

(4-91)

که در آن u بردار 1 ×n و شامل متغیر های حالت است و Fm در حالت کلی بردار 1 ×n می باشد که درایه های آن چند جمله ایهایی از درجه 1 + m هستند. بنحوی که شرط o = (o) Fm ارضاء شود. و ماتریس An×n ثابت است . مقدار کوچک ? می تواند نمایانگر یک پارامتر فیزیکی باشد و یا اینکه تنها به عنوان یک پارامتر ریاضی مطرح شود. و در نهایت مساوی 1 قرار داده شود .
اگر ماتریس P که ستونهای آن بردارهای ویژه ماتریس A می باشند را معرفی کنیم و تبدیل مختصات خطی px= u را انجام دهیم، دستگاه فوق بصورت زیر در می آید :

(4-92)

با ضرب دو طرف معادله 2-21 در p-1 داریم :
(4-93)

معادله 2-22 را به صورت زیر هم می توان نوشت :
(4-94)

معادله بدست آمده ساده ترین شکل معادله می باشد که با استفاده از تبدیل خطی قابل دستیابی است ،در دستگاه معادلات به ماتریس J شکل جردن ماتریس A گویند و بسته به وضعیت مقادیر ویژه ماتریس A در معادله می تواند سه حالت داشته باشد :
الف). ماتریس A دارای n مقدار ویژه حقیقی و مجزا باشد : در این صورت شکل جردن به صورت ماتریس قطری که مقادیر ویژه روی قطر آن قرار دارد در می آید . برای سیستم معادلات دو بعدی شکل جردن ماتریس A در این حالت به صورت زیر می باشد :
(4-95)

ب). ماتریس A دارای n مقدار ویژه حقیقی است که بعضی از آنها تکراری هستند : هنگامی که مقادیر ویژه ماتریس A حقیقی هستند و بعضی از آنها تکراری می باشند دو حالت ممکن است پیش آید حالت اول اینستکه ماتریس A دارای n بردار ویژه مستقل از هم باشد که در این صورت شکل جردن ماتریس A برای سیستم معادلات دو بعدی به صورت زیر می باشد :
(4-96)

حالت دوم اینستکه تعداد بردارهای ویژه ماتریس A که از هم استقلال خطی دارند کمتر
از n باشد در اینصورت با انتخاب مناسب ماتریس p شکل جردن ماتریس A برای سیستم معادلات دو بعدی به شکل زیر در می آید :
(4-97)
یا

ج). هنگامی که بعضی از مقادیر ویژه ماتریس A مزدوج مختلط باشند : در این صورت بعضی از بردارهای ویژه نیز مختلط هستند ، در این صورت شکل جردن ماتریس A برای دستگاه دو تایی به یکی از دو صورت زیر می باشد :
(4-98)
یا

همانطور که گفته شد معادله بالا ساده ترین شکل دستگاه معادلات است که با تبدیل خطی قابل دستیابی است اما برای بدست آوردن دستگاه مختصاتی که در آن مسیرهای پریودیک بصورت مدارهای دایره ای شکل بنظر برسند احتیاج است که تبدیل

دسته‌ها: No category

دیدگاهتان را بنویسید